式与方程教案精品

生日祝福语网的编辑为大家准备了这篇“式与方程教案”的相关内容，以下信息仅供你在工作和学习中参考。为了教学更有顺利，老师会需要提前准备教案课件，需要老师把每份课件都要设计更完善。 教案课件是课程规划的重要组成部分，必须认真对待。

式与方程教案 篇1

圆的一般方程

教学目标（一）知识教学要点

使学生掌握圆的一般方程的特点；能够将圆的一般方程转换为圆的标准，可以通过方程得到圆心的坐标和半径；圆的方程可以用待定系数法从已知条件推导出来。

（二）能力训练要点

让学生掌握用公式求圆心和半径的方法，熟练运用待定系数法从已知条件推导圆法，熟练运用待定系数法从已知条件推导圆方程，培养学生用匹配法和待定系数法解决实际问题的能力。

（3）学科渗透点

通过对固定系数法的研究，为基础知识的深入学习打下坚实的基础数学和其他相关学科的基本方法。基础知识。

教学要点： （1）能用匹配法从圆的一般方程求出圆心的坐标和半径； (2) 能用待定系数法从已知条件推导出圆的方程。

教学难点：圆的一般方程的特征。

教学疑点：圆的一般方程要加上约束D2+E2-4F>0。活动设计

讲座、问题、归纳、演示板、总结、再讲座、再演示板。教学过程

(1)复习和介绍新课

前面我们已经讨论过圆的标准方程(x-a)2+(y-b) 2= r2，现在我们可以展开 x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0。可以看出，任意圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0。请想一想：x2+y2+Dx+Ey+F=0形状的方程的曲线是圆吗？让我们深入研究一下这个问题。审查导致主题“圆的一般方程”。

(2)圆一般方程的定义

1.分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹

通过公式左边x2+y2+Dx+Ey+F=0：

(1)

(1) 当D2+ E2-4F>0，将式(1)与标准方程比较，可以看出方程

是一个有半径的圆；

(3)当D2+E2-4F

此时教师引导学生得出方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹是圆和

法的结论。

2. 圆的一般方程的定义

?当D2+E2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程。

（3）圆的一般方程的特征请分析以下问题：

问题：比较两个变量的二次方程的一般形式Ax2+ Bxy+ Cy2+Dx+Ey+F=0。

(2)

带圆的一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0, (D2+E2-4F>0) 。

(3) 从

的系数可以得出什么结论？鼓励学生得出结论。

二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0时有条件： (1) x2和y2的系数相同且不等于0，即A=C≠0； (2)没有xy项，即B=0； (3) D2+E2-4AF>0。

就是圆的意思。条件（3）用同一个方程除以 A 或 C 不难得出。老师还强调：

(1) 条件（1）和（2）是必要条件，但不是充分条件用二次方程（2）来表示一个圆； (2) 条件(1)、(2)和(3)一起是二次方程(2)表示圆的充要条件。 (4) 应用与实例

和圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0也包含三个系数D , E, F，所以必须有三个独立的条件来确定一个圆。在下面看看他们的应用程序。

示例

1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0, (2)x2+y2+2by=0 .

这个例子是学生做的，老师纠正错误，给出正确答案：（1）圆心为（4，-3），半径为5； (2) 圆心为(0, -b) )，半径为|b|，注意半径不是b。

同时强调：从圆的一般方程求圆心的坐标和半径，一般采用匹配法，必须掌握。示例

2 求一个圆通过三个点O(0,0)、A(1,1) 和B(4,2) 的方程。解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，从圆上的O,A,B，有

解：D=-8,E= 6. F=0，所以求圆的方程为x2+y2-8x+6=0。例2 小结：

1、用待定系数法求圆方程的步骤：

（1）根据题意，设圆圈为标准公式或通用公式； (2)根据条件或D、E、F的方程列出a、b、r的信息；

2.关于什么时候设置圆的标准方程，什么时候设置圆的一般方程：一般来说，如果从圆心坐标和半径容易求出在已知条件下，或者需要使用圆心坐标和半径方程时，往往需要设置圆的方程。标准方程；如果已知条件与圆心的坐标或半径没有直接关系，通常会设置圆的一般方程。看下面的例子：

例子

3 在直线l上求圆心：x+y=0，过两个圆C1：x2+y2-2x+10y-24=圆在0与交点处的方程C2：x2+y2+2x+2y-8=0。

(0,2)。

设求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点都在求圆上，圆心在直线l上，所以方程组是

所以要求圆的方程是：(x+3)2+(y-3)2=10。

这时老师指出：

（1）从已知条件，很容易求出圆心的坐标，半径，或者使用圆心坐标和半径方程。标准方程。

(2) 这个问题也可以通过圆系统方程来求解： 设待求圆的方程为：

x2+ y2-2x+10y-24 +λ(x2+y2 +2x+2y-8)=0(λ≠-1) 整理公式：

从圆心开始在直线l上，λ=-2。

将λ=-2代入假设方程，得到求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0。这个方法会在圆与圆的位置关系中介绍，这里给同学们留个悬念。

，求这条曲线的方程，画出曲线。本例中，请两名学生下棋，老师巡视，并提醒学生：

(1)由于曲线表示的图形是未知的，曲线方程只能由轨迹法，在曲线 M(x , y) 上任意一点，可以通过求曲线方程的一般步骤得到；

(2)把圆的一般方程写成标准方程，然后画出圆心、半径、图形的坐标。 (5)小结

1.圆的一般方程的定义和特点； 2. 2. 用匹配法找出圆心坐标和半径； 2. 用待定系数法，推导出圆的方程。

V.布置作业

1. 求下列圆的一般方程：

(1) 过点A(5, 1)，圆心在点 C(8, -3); (2)经过A(-1, 5 ), B(5, 5), C(6, -2)三个点。

2.求通过两个圆的交点x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的圆的方程，其圆心在x-y线上-4=0。

3. 等腰三角形的顶点是A(4, 2)，底边的一个端点是B(3, 5)。找到另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么。

4. A、B、C是已知直线上的三个不动点，移动点P不在这条直线上，令∠APB=∠BPC，求其运动轨迹移动点 P.

作业答案：

1. (1)x2+y2-16x+6y+48=0 (2)x2+y2-4x-2y-20 =0 2． x2+y2-x+7y-32=0 3．所需轨迹方程为x2+y2-8x-4y+10=0（x≠3，x≠5），轨迹为

4。以B为原点，直线ABC为x轴建立笛卡尔坐标系，令A(-a, 0), C(c, 0) (a>0, c>0), P(x, y)，可得方程为：

(a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0。

当a=c时，则x=0（y≠0），即从y轴移开原点； 当a≠c时，则(x-

和x轴的两个交点。

式与方程教案 篇2

教材分析

圆是学生在初中已初步了解了圆的知识及前面学习了直线方程的基础上来进一步学习《圆的'标准方程》，它既是前面圆的知识的复习延伸，又是后继学习圆与直线的位置关系奠定了基础。因此，本节课在本章中起着承上启下的重要作用。

教学目标

1. 知识与技能：探索并掌握圆的标准方程，能根据方程写出圆的坐标和圆的半径。

2. 过程与方法：通过圆的标准方程的学习，掌握求曲线方程的方法，领会数形结合的思想。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，感受学习成功的喜悦。

教学重点难点

以及措施

教学重点：圆的标准方程理解及运用

教学难点：根据不同条件，利用待定系数求圆的标准方程。

根据教学内容的特点及高一年级学生的年龄、认知特征，紧紧抓住课堂知识的结构关系，遵循“直观认知――操作体会――感悟知识特征――应用知识”的认知过程，设计出包括：观察、操作、思考、交流等内容的教学流程。并且充分利用现代化信息技术的教学手段提高教学效率。以此使学生获取知识，给学生独立操作、合作交流的机会。学法上注重让学生参与方程的推导过程，努力拓展学生思维的空间，促其在尝试中发现，讨论中明理，合作中成功，让学生真正体验知识的形成过程。

学习者分析

高一年级的学生从知识层面上已经掌握了圆的相关性质;从能力层面具备了一定的观察、分析和数据处理能力，对数学问题有自己个人的看法;从情感层面上学生思维活跃积极性高，但他们数学应用意识和语言表达的能力还有待加强。

教法设计

问题情境引入法 启发式教学法 讲授法

学法指导

自主学习法 讨论交流法 练习巩固法

教学准备

ppt课件 导学案

教学环节

教学内容

教师活动

学生活动

设计意图

情景引入

回顾复习

(2分钟)

1.观赏生活中有关圆的图片

2.回顾复习圆的定义，并观看圆的生成flash动画。

提问：直线可以用一个方程表示,那么圆可以用一个方程表示吗?

教师创设情景，引领学生感受圆。

教师提出问题。引导学生思考，引出本节主旨。

学生观赏圆的图片和动画，思考如何表示圆的方程。

生活中的图片展示，调动学生学习的积极性，让学生体会到园在日常生活中的广泛应用

自主学习

(5分钟)

1.介绍动点轨迹方程的求解步骤：

(1)建系：在图形中建立适当的坐标系;

(2)设点：用有序实数对(x,y)表示曲 线上任意一点M的坐标;

(3)列式：用坐标表示条件P(M)的方程 ;

(4)化简：对P(M)方程化简到最简形式;

2.学生自主学习圆的方程推导，并完成相应学案内容，

教师介绍求轨迹方程的步骤后，引导学生自学圆的标准方程

自主学习课本中圆的标准方程的推导过程，并完成导学案的内容，并当堂展示。

培养学生自主学习，获取知识的能力

合作探究(10分钟)

1.根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件有哪些?

2.点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的关系的判断方法：

(1)点在圆上

(2)点在圆外

(3)点在圆内

教师引导学生分组探讨，从旁巡视指导学生在自学和探讨中遇到的问题，并鼓励学生以小组为单位展示探究成果。

学生展开合作性的探讨，并陈述自己的研究成果。

通过合作探究和自我的展示，鼓励学生合作学习的品质

当堂训练(18分钟)

1.求下列圆的圆心坐标和半径

C1: x2+y2=5

C2: (x-3)2+y2=4

C3: x2+(y+1)2=a2(a≠0)

2. 以C(4,-6)为圆心,半径等于3的圆的标准方程

3. 设圆(x-a)2+(y-b)2=r2

则坐标原点的位置是( )

A.在圆外 B.在圆上

C.在圆内 D.与a的取值有关

4.写出下列各圆的标准方程(1)圆心在原点,半径等于5

(2)经过点P(5,1),圆心在点C(6,-2);

(3)以A(2,5),B(0,-1)为直径的圆.

5.下列方程分别表示什么图形

(1) x2+y2=0

(2) (x-1)2 =8-(y+2)2

(3) 《圆的标准方程》教学设计-贾伟

6.巩固提升：已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l：x-y+1=0上，求圆C的标准方程并作图

指导学生就不同条件下给出的圆心和半径关系，求解圆的标准方程这两个要素展开训练。

学生自主开展训练，并纠正学习中所遇到的问题

巩固所学知识，并查缺补漏。

回顾小结

(1分钟)

1.你学到了哪些知识?

2.你掌握了哪些技能?

3.你体会到了哪些数学思想?

采用提问的形式帮助学生回顾和分析本节所学。

学生思考并从知识、技能和思想方法上回顾总结。

培养学生归纳总结能力

作业布置

(1分钟)

课本87页习题2-2

A组的第1道题

布置训练任务

标记并完成相应的任务

检测学生掌握知识情况。

教学反思

本节教学主要遵循“回-导-学-展-讲-练-结”的高效课堂教学模式，遵循学生学习的主体地位，鼓励学生自主思考和探讨。

教学中要积极鼓励学生多思考总结，在判断点与圆的位置关系中，要遵从学生个性化的发展思路，鼓励学生创造性的解决问题。

式与方程教案 篇3

一、模型思想的概念

模型思想是指运用数学语言对现实世界的事与物的各类特征、数量关系以及空间形式进行描述，模型思想简单而言是一种数学思想.新课标要求在开展数学教学过程中，要培养学生的模型思想，这不仅可以有效地让学生更好地理解数学知识，还可以促进学生与外部世界的联系.建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题的数量关系和变化规律，通过模型求出结果，并用此结果去解释、讨论它在现实问题中的意义.利用好这种模式，可以促进学生初步形成模型思想，并有效地提高其学习数学的兴趣；有利于学生初步形成模型思想，提高其学习数学的积极性与热情.我们在开展初中数学教学过程中，可以将数学符号、表达式以及图表作为数学模型的主要表达形式，从这个特征可以发现，模型思想与符号化思想存在着一定的相似点，两者都属于基本化思想.对于初中生而言，我们只需把日常生活中的某些问题转换成抽象的数学问题，运用数学知识解决数学问题，再返回到日常生活中进行检验，这个过程就是我们所说的数学建模.

二、初中“，方程”教学渗入模型思想的作用

1“方程”的教学内容

初中教学内容主要由数、式、方程、函数等组成.方程在整个教学内容以及教学设计中有着非常重要的作用，不仅衔接着数与式的学习，还为后续的不等式以及函数的学习提供了基础.按教学大纲以及新课标的要求，方程在整个初中数学教学中是学生学习的一个难点，同时也是教师教学的一个重点.根据大纲以及新课标的要求，笔者归纳了初中方程教学的内容，主要包括以下几个方面的教学内容：一元一次方程、二元一次方程（组）、一元二次方程和可化为一元一次方程的分式方程等，其中还包括各类方程的解法以及运用每一类方程（组）解决实际问题，内容大致又分为方程（组）的概念、各类方程的解法及方程与实际问题等.

2“.方程”教学渗入模型思想的作用

新课标中明确地指出，初中数学教学需利用课堂教学激发学生的学习热情与积极性，需结合教学任务创新能够引起学生进行数学思考的教学内容.教学过程中，要培养学生的创新意识，从而提高学生的创造性思维.前面有所提及，初中数学教学的重点之一为方程教学，而且方程教学的内容具有非常明显的模型思想，因此，我们可以把模型思想渗入整个初中方程教学当中，这样不仅有利于培养学生的应用意识，还可以激发学生学习数学的兴趣，能有效地提高初中方程教学的质量.

三、基于模型思想的初中“方程”教学设计

我们在开展模型思想教学设计时，要想让学生能够真正地理解其基本思想，需要一个长期练习的过程，而且整个过程需要遵循从简到繁的原则.只有这样，才能让学生把具体的事物进行抽象化，逐渐掌握数学建模的方式.经过不断的练习才能让学生习惯性地遇到数学问题时，运用模型思想来进行数学思维.同时，我们在开展模型思想的初中方程教学设计时，还需结合学生的实际情况进行设计，从而确保模型思想在初中方程教学中的作用.下面笔者就通过一个教学案例来阐述整个教学设计的思想以及方法.

1.设计问题，导入新课

我们为了能顺利地开展方程教学，需引导学生抽象出方程相关概念.教师可以结合教学内容，运用多媒体向学生展示教师设计出的相关内容，这些辅助教学设备，同样可以激发学生的学习热情与积极性，能让我们的教学设计更好地吸引学生.在这个环节中，我们可以运用创设问题情境的方式来导入我们所设计的教学内容.比如：现在接近五一劳动节了，许多超市都在打折促销，那我们知道什么是打折活动吗？这些商家打折的目的是什么？如果他们打折之后比原来销售的价格要低，这些商家还会赚钱吗？通过学生日常生活中经常见到的事物进行问题设计，可以给予学生更多的思考空间，因为这与他们的生活息息相关，自然可以吸引到学生的注意，同时也能激发其兴趣.

2.提出问题，引导学生建立模型

在我们所设计的教学环节中，有了前面的问题，就可以引导学生进行建模活动了.比如：使用多媒体制作一组超市相关的图片，模拟与学生一起在超市中购买的场景，然后展示出某个商品正在进行八折的促销活动，这时可以再提出问题：假设这件打折的商品标价为200元，现在我们花多少钱就可以买到这件商品？如果我们已经知道这件商品的进价为90元，那么销售这件商品，商家可以赚到多少钱？这个学习过程就是要引导学生依照实际问题，进行数学建模活动，利用方程模型，正确地解决实际问题.

3.分组讨论，引入正确建模过程

有了前面的铺垫，到了这个教学环节，我们要组织学生开展数学建模活动.教师可以设置问题，如：如果现在超市里把某商品按照成本价提高20%，再以八折的优惠来进行促销，假设某件商品可以赢利18元，请问该商品的'成本价为多少？假设该商品的成本价为x元，我们还可以用含有x的代数式表示其他的量吗？在刚才所提问题的内容中，含有什么等量关系？

4.加强练习难度，深化模型思想

到了这个教学环节，我们可以深化学生的数学模型思想.在这个环节中，我们可以适当提高问题的难度，可以激发学生的求知欲，引导学生进行假设，并且要通过自己的努力来解决问题.比如：一台笔记本电脑按进价提高了30%标价，刚好遇到五一节，商家进行打折促销，按原价的七折进行销售，现在每台笔记本电脑的售价为4800元，请问这台笔记本电脑的成本价是多少？商家销售出一台电脑可以获利多少？随着问题的提出，教师可以组织学生进行分组讨论，引导学生利用方程模型来解决，让学生意识到模型思想在我们生活中的重要性，从而提高学生学习数学的兴趣.

5.总结知识重点，加深模型思想

学生经过前面的学习，已经对一元一次方程有了一个非常清晰的了解，教师应该在这个教学环节中帮助学生梳理知识，以加深印象.教师可以设计以下几个问题让学生思考：

（1）对于今天我们学习的知识，你有什么收获？

（2）运用一元一次方程解决实际问题时，正确的建模活动过程是什么？

6.布置不同层次作业，巩固所学知识

通过前面知识的引导与学习，教师在这个环节中要布置相应的作业，以此巩固学生今天所学到的知识.笔者建议教师根据学生的不同层次来进行分层布置，从而有效地体现出新课标的教学理念，这有利于不同层次的学生得到相应的发展.下面是笔者根据不同层次学生设计的课后作业，分为必做题和选做题两个层次。

必做题

（1）超市把某件商品在进价的基础上提高了30%，然后以九五折进行销售，已知该商品的销售价格是700元，请问这个商品的进价为多少？

（2）苏宁电器五一活动，把原标价为3700元的冰箱以八折进行销售，打折后商家要达到8万元的销售额，那么相比打折以前，销量应增加多少台？

选做题

（3）由于某手机更新换代，手机商家决定打折出售低版本手机.已知现在低版本手机的售价为5600元，新款手机的售价为7800元.假设低版本手机亏本10%，新版本手机赢利25%，请问手机商家是赢利还是亏本？假如赢利，求出赢利额；假如亏本，求出亏本额。

总之，数学知识源于生活，我们在进行初中方程教学设计时，要结合学生的实际生活，不断地挖掘出问题情境，让学生真正理解数学问题生活化的意义.数学思想方法本身就是一个非常抽象的概念，我们只有通过不断地设计出优秀的教学内容，才能更好地培养学生的模型思想，提高初中方程教学质量。

式与方程教案 篇4

一、教材分析

1、教材的地位与作用

《圆的标准方程》是在学习《直线与方程》等知识的基础上对解析几何进一步深入认识，提高学生运用方程思想、等价转化思想、数形结合的思想研究解析几何的能力，为后来进一步学习圆锥曲线奠定基础。

2、学习重点、难点

学习重点：

圆的标准方程的求法及其应用。

学习难点：

如何运用坐标法研究圆的问题。

二、教学目标：

1、知识目标：

让学生理解圆的标准方程的推导，并能正确使用标准方程解决简单问题。

2、能力目标：

①进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力;

②使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解;

③通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力。

3、情感目标：

①培养学生勇于探究问题的能力， 学会在错误中反思并获得学习自信;

②增强学生学习的积极性，提高学习的乐趣。

三、教法、学法分析

1、学情分析

学习基础：学生在初中时对圆有了初步的认识，学生通过必修二的第三章“直线的方程”的学习，对解析法有了初步认识，但是对于解析几何的解题方法，学生接触不多;

学习障碍：对同一问题的不同分析方法形成思维的多样性较弱。

2、教法

学生为主体的探究性学习模式 。

四、教学过程

(一)创设情境(引入课题)

画一画：分别由两个学生在黑板上各画一个圆。

问题1：初中几何中圆的定义是什么?确定圆的要素有几个?

问题2：我们如何用坐标法来研究圆呢?(小组交流，学生代表到台前讲述)

(二)深入探究(探究圆的方程，获得新知)

方法一：坐标法：由两点间的距离公式，

方法二：图形变换法;

方法三：向量平移法

(三)应用举例(巩固提高)

I.直接应用(内化新知)

例1.写出圆心为A(2,-3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5，-7)，M2(设计意图：几何法角度分析点与圆的位置关系：讨论圆心离原点的距离d与半径r的大小;

坐标法角度分析点与圆的位置关系：讨论将点的坐标代人方程的式子与II.灵活应用(提升能力)

例2.已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心C在直线上，求圆心为C的圆的标准方程。

设计意图：这是课本中的例3，书中用几何法直接求得圆心C的坐标和半径大小，从而得出圆的方程。我们还可以让学生用坐标法(待定系数法)求圆的方程，在寻求待定系数法的等式时又有多种思考途径：圆的几何意义(半径相等或对称性);向量的运用(数量积相等或垂直向量内积为零)。

当学生的解法出现得较多时，引导学生归类：几何法与待定系数法。

解法归类后提出要求：书中例2你还有几种解法，课后小组内进行交流。

(四)反馈训练(形成方法)

练习:课本P120第4小题：已知△AOB的顶点坐标分别是A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)，求△AOB外接圆的方程。

练习的1，2，3小题课后独立完成，小组交流。

设计意图：由初中所学的不共线的三点唯一确定圆升华到可以唯一求得圆的标准方程，进一步巩固旧知并明确要求得圆的标准方程需要三个条件。

(五)小结反思(拓展引申)

1.课堂小结：

(1)圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为：

当圆心在原点时，圆的标准方程为：

(2) 求圆的方程的方法：①待定系数法(坐标法);②几何法

2.分层作业：

(A)巩固型作业：课本P120练习1,2，3(独立完成后组内交流);

课本习题4.1A组2,3.B组1,2.(独立完成后教师阅

(B)思维拓展：

1.用平面几何知识证明:三角形三边中垂线交于一点.

2.已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线的方程.

(C)预习:课本4.1.2圆的一般方程.

五、评价分析

设计理念：

1.数学课堂是学生学习数学知识、运用数学方法、体会数学思想的过程，教师的责任在于激发学生的主体意识，召唤学生的学习热情。

2.高效的数学课堂实际上是学生高效学习的一个历程，教师要善于帮助学习寻求适合的、高效的学习方法。

3.数学学习是一个思维碰撞的过程，教师设计出适合学生的情感体验节点，努力让学生心动而神动，营造出师生心灵共振的景象。

设计思路：

圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用坐标法研究圆的标准方程及其简单应用。首先，在已有圆的定义和求轨迹方程的一般步骤的基础上，引导学生探究获得圆的方程，然后，利用圆的标准方程由浅入深的解决问题,并通过圆的方程确定的多样性激活学生思维、激发探究兴趣、领悟数学的灵动性。另外，为了培养学生的理性思维，我分别在探究圆的标准方程时和例1中，设计了由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力。在问题的设计中，我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成.

本节课的设计了五个环节，以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以以学生为主体的指导思想。学生学习知识的过程是学生操作、观察、发现、分析、解决问题的过程，在解决问题的同时锻炼思维.提高能力、培养兴趣、增强信心。

式与方程教案 篇5

本单元教学方程的知识，是在四年级（下册）“用字母表示数”的基础上编排的。第一次教学方程，涉和的基础知识比较多，教学内容分成三局部编排。

第1~2页教学等式的含义与方程的意义，根据直观情境里的等量关系列方程。

第3~11页教学等式的性质，解方程，列方程解答一步计算的实际问题。

第12~14页全单元内容的整理与练习。

本单元编排的一篇“你知道吗”简要介绍了我国古代就有方程的思想，并有运用方程解决实际问题的历史记载。

1?从等式到方程，逐步构建新的数学知识。

方程是等式里的一类特殊对象，教材用属概念加种差的方式，按“等式+含有未知数→方程”的线索教学方程的意义。

（1）

借助天平体会等式的含义。

等式是方程的生长点，同学在前几册教材里对等式已经有了初步的认识，为了有利于方程概念的建立，本单元教材首先让同学体会等式的含义。

天平两臂平衡，表示两边的物体质量相等；两臂不平衡，表示两边物体的质量不相等。让同学在天平平衡的直观情境中体会等式，符合同学的认知特点。例1在天平图下方出现“=”，让同学用等式表达天平两边物体质量的相等关系，从中体会等式的含义。教材使用了“质量”这个词，是因为天平与其他的秤不同。习惯上秤计量物体有多重，天平计量物体的质量是多少。教学时不要把质量说成重量，但不必作过多的解释。

例2继续教学等式，教材的布置有三个特点：

第一，有些天平的两臂平衡，有些天平两臂不平衡。根据各个天平的状态，有时写出的是等式，有时写出的不是等式。同学在相等与不等的比较与感受中，能进一步体会等式的含义。第二，写出的四个式子里都含有未知数，有两个是含有未知数的等式。这便于同学初步感知方程，为教学方程的意义积累了具体的素材。第三，写四个式子时，对同学的要求由扶到放。圆圈里的关系符号都要同学填写，同学在选择“=”“＞”或“＜”时，能深刻体会符号两边相等与不相等的关系；符号两边的式子与数则逐渐放手让同学填写，这是因为他们以前没有写过含有未知数的等式与不等式。

（2）

教学方程的意义，突出概念的内涵与外延。

“含有未知数”与“等式”是方程意义的两点最重要的内涵。“含有未知数”也是方程区别于其他等式的关键特征。在第1页的两道例题里，同学陆续写出了等式，也写出了不等式；写出了不含未知数的等式，也写出了含有未知数的等式。这些都为教学方程的意义提供了鲜明的感知资料。教材首先告诉同学：

像x+50=150、2x=200这样含有未知数的等式叫做方程，让他们理解x+50=150、2x=200的一起特点是“含有未知数”，也是“等式”。这时，假如让同学对两道例题里写出的50+50=100、x+50＞100和x+50＜200不能称为方程的原因作出合理的解释，那么同学对方程是等式的理解会更深刻。教材接着布置讨论“等式和方程有什么关系”，并通过“练一练”第1题让同学先找出等式，再找出方程，理解等式与方程这两个概念之间的包括与被包括关系。即方程都是等式，但等式不都是方程。这道题里有以x为未知数的等式，也有以y为未知数的等式，使同学对“未知数”有正确的理解，防止把未知数局限为x，把方程狭隘地理解为“含有x的等式”。“练一练”第2题要求同学自身写出一些方程并相互交流，让它们在写方程时关注方程的实质属性，从而巩固方程的概念。

（3）

用方程表示直观情境里的相等关系。

第2页的“试一试”和“练一练”第3题都是看图列方程，编排这些题的目的是培养同学发现和理解实际情境里的等量关系的能力，体会方程是表示等量关系的数学方法，从而进一步巩固方程的概念，并为以后列方程解决实际问题打下扎实的基础。这些内容在编排上有两个特点：

一是直观情境的出现从天平图开始，发展到带括线的图画。带括线的图画在一年级（上册）就出现了，同学比较熟悉。但是，从列算式求答案的习惯思维转向列方程表示等量关系，仍然会有困难。因此，教材先让同学看天平图列方程。天平两臂平衡，表示它左右两边物体的质量相等，已经在两道例题里教学得很充沛了，看天平图列方程能让同学初步知道什么是列方程和怎样列方程，对依据什么列方程和列出的方程表示什么有所体验。

在此基础上，过渡到列方程表示带括线的图画里的等量关系，会平稳得多。二是带括线的图画里的等量关系，突出两个或几个局部数相加是它们的总数。在几个局部数相同时，它们相加用乘法比较简便。这些关系是数量之间最基本的关系。而且这些关系建立在加法和乘法的意义上，同学容易理解。如文具盒的价钱加笔记本的价钱一共20元，买4本同样的故事书一共要16.8元，列出的方程分别是12+x=20和4x=16.8。假如少数同学列出的方程是20-x=12或16.8÷x=4也是可以的，但不宜提倡；绝不能列出20-12=x、16.8÷4=x这样的方程。因为后者仍然是过去列算式的思路，不利于同学体会数量间的相等关系，对以后的教学也是有弊无利的。

2?利用等式的性质解方程。

在过去的小学数学教材里，同学是应用四则计算的各局部关系解方程。这样的思路只适宜解比较简单的方程，而且和中学教材不一致。《规范》从同学的久远发展和中小学教学的衔接动身，要求小学阶段的同学也要利用等式的性质解方程。因此，本单元布置了关于等式性质的内容，分两段教学：

第一段是等式的两边同时加上或减去同一个数，结果仍然是等式；第二段是等式的两边同时乘或除以同一个不等于零的数，结果仍然是等式。在每一段教学等式的性质以后，都和时让同学运用等式的性质解方程。

（1）

在直观情境中，按“形象感受→笼统概括”的方式教学等式的性质。

教材仍然用天平的直观情境教学等式的性质。因为在两臂平衡的天平上，左右两边物体的质量发生相同的变化，天平的两臂仍然坚持平衡。这种现象能形象地表示等式的性质，有利于同学的直观感受。

例3教学等式的一个性质。教材设计了四组天平图，每组左边的天平图表示变化前的等式，右边的天平图表示变化后的等式，从左边的等式到右边的等式，反映了等式的性质。上面的两组图揭示的是等式的两边都加上一个相同的数，仍然是等式；下面的两组图揭示的是等式的两边都减去相同的数，仍然是等式。四组图的内容综合起来就是等式的一个性质。教材精心设计每组天平上物体的质量，第一组图写出的是不含未知数的等式，在左边的天平表示20=20以后，右边天平的两边各加1个10克的砝码，看图填写20+（）○20+（）。同学在两个括号里都写“10”，在圆圈里写“=”，联系天平两边各加10克都变成30克，而天平仍然平衡的现象，体会填写的等式是合理的。这样就首次感知了等式的两边都加上同一个数，结果仍是等式。第二组图写出的是含有未知数的等式，从x=50到x+20=50+20的变化和比较中，对等式两边都加上相同的数有进一步的感受。第三组图写出的等式两边都用字母a表示砝码的质量，圈出a克砝码并画上箭头，表示去掉它的意思。联系已有经验，这里的a代表许多个数，这组天平图与等式概括了众多等式两边减去相同数的情况。第四组图在方程x+20=70的两边都减去20，不但又一次表示了等式性质，而且与解方程的方法十分接近。

另外，这道例题的8个等式中，有7个让同学在圆圈里填写“=”组成等式，这是引导同学切实关注等式有没有变化。右边的四个等式分别让同学在括号里填出同时加上或减去的数，有利于发现等式的性质。

例5教学等式的另一个性质。教材注意利用同学前面学习等式性质的经验，在感知天平的直观情境表示出等式性质的一个实例后，再让同学写一个等式，通过比较、概括与交流，得出“等式的两边都乘或除以相同的数，结果仍然是等式”的结论。教学时有两点应注意：

一是让同学正确理解图意。上面一组天平图的左边原来是一个质量为x克的物体，又添上一个质量相同的物体；右边原来是一个20克的砝码，又添上一个同样的砝码。这表示天平左右两边物体的质量都乘2。下面一组天平图左边原来是3个质量都为x克的物体，现在只剩下1个这样的物体；右边原来是3个20克的砝码，现在只剩下1个20克的砝码。这表示天平左右两边物体的质量都除以3。二是等式两边同时除以的那个数不能是0，这一点同学能够接受。因为前面的教学中，已经多次提到除数不能是0。

（2）

应用等式的性质解方程。

例4和例6教学解方程，解方程的关键是方程的两边都加（减）几、乘（除以）几，教材对此有精心的设计。例4看图列出方程，同学先从图中能得到求x值的启示：

只要在天平的左右两边各去掉10克的砝码。联系等式的性质与方程x+10=50的特点，理解“方程两边都减去10”的道理：

等式的两边都减去10，左边就剩下x，x的值只要通过右边的计算就能得到。例6在列出方程以后，让同学联系已有的解方程经验和有关的等式性质，考虑“方程两边都要除以几”这个问题，并解这个方程。这些设计都体现了从同学实际动身，让同学主动学习的教育理念。另外，例4的编写还注意了三点：

一是示范了解方程的书写格式，强调等式变换时，各个等式的等号要上下对齐，教学时必需严格遵循；二是求得x=40后，通过“是不是正确答案”的质疑，引导同学根据“左右两边是不是相等”进行检验；三是在回顾反思求x值的过程基础上，讲了什么是“解方程”。这些都是以后解方程时反复使用的知识。

协助同学逐渐掌握解方程的方法并形成相应的技能，是教材编写时认真考虑的问题。用好教材设计的两道题，能培养同学这方面的能力。一处是第4页“练一练”第1题，为了使方程的左边只剩下x，方程的左边已经加上25（或减去18），右边应该怎样？这是刚开始教学解方程时的设计。通过在方框里填数，在圆圈里填运算符号，

引导同学正确应用等式的性质，体会解方程的战略和思路，理出解方程的关键步骤。同学在方框里填数一般不会有问题，在圆圈里填运算符号可能会出现错误。要通过交流和评价，协助他们正确掌握方程的两边同时加上或同时减去相同的数。另一处是第6页第7题，简化解方程过程的'书写，浓缩思路，是在基本掌握解方程的方法以后布置的。如解方程x-20=30，在方程的两边都加20这一步，省写了虚线框里的内容： x-20+20=30+20，直接写出x=30+20。这样做能使解方程的考虑流畅、书写简便，从而提升解方程的能力。教学时要让同学体会简化的过程，重点讨论圆圈里填什么符号、方框里填什么数以和为什么。第8页“练一练”第1题、第10页第2题的编排意图与上面相同。

式与方程教案 篇6

初中圆通方程教学计划

[上一：圆通方程教学设计]

数学第二卷圆通方程基础模块

【教学目标】

1.掌握圆的一般方程，能够判断二元二次方程是否为圆方程。 2、能根据圆的一般方程求出圆心的坐标和半径，并能用待定系数法求出圆的方程。 3.进一步培养学生将数与形结合，综合运用知识解决问题的能力。 【教学重点】 圆的一般方程。 【教学难点】

二元二次方程与圆的一般方程的关系。 【教学方法】

本课主要采用讲授与实践相结合的方法。首先，将圆的标准方程展开得到圆的一般方程，然后讨论二次方程可以满足哪些条件来表示一个圆。最后通过实例，让学生初步了解待定系数法和求曲线方程的一般步骤。

【教学过程】1

第8章直线和圆的方程2

数学基础模块II第3卷

第八章4 : 直线和圆方程教学目标

1.讨论和掌握圆的一般方程的特点，能把圆的一般方程转化为标准的圆方程，从而得到圆心的坐标和半径。

2.能够分析问题的条件，选择圆的一般方程或标准方程来解决问题，在解决问题的过程中分析和利用圆的几何性质.

二、教学重点和难点

圆的一般方程的搜索过程和特点是教学重点；根据具体条件难度选用圆方程进行教学。

3.教学过程 (1)复习新课

老师：请说圆心在(a,b)点，半径是圆的方程对于河健康：(x-a)2+(y-b)2=r2。

老师：你以前学过直线。直线方程有哪些？

同学们：直线方程有点斜，斜截，两点，截和一般。师：直线方程的通式是ax+by+c=0吗？

盛一：是的。

生b：缺乏条件a2+b2≠0。

老师：好！那么圆的方程有没有像“直线方程的一般方程”那样的“一般方程”呢？

（作文题目：《寻找圆的一般方程》）（2）探索新知识

师：圆有一个通用方程吗？这是一个悬而未决的问题，让我们来探讨一下。我们都知道，当我们知道共同的事物时，我们总是从特殊的开始。例如，直线方程的一般形式是通过对特殊公式（点-斜率、两点...）展开整理得到的。如何求圆的一般方程？学生：你可以通过模仿直线方程来试一试！展开标准形式并将其排列为

x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0。设d=-2a，e=-2b，f=a2+b2-r2，有：x2+y2+dx+ey+f=0(*)

老师：从(*)公式从过程中可以看出，圆的方程可以写成(*)的形式。那么你能得出一个结论：x2+y2+dx+ey+f=0 是圆的方程吗？生一：不一定。我们还要考虑：x2+y2+dx+ey+f=0 是否可以写成标准形式。

盛b：也可以像直线方程一样，但必须有一定的条件。

师：那你是怎么看待找条件的呢？

健康：食谱。

老师；

（让同学讨论，老师适当引导，然后同学发言，老师在黑板上写。） 22

把（*）写成：？ d??e?d2+ e2-4f ?x+2??+ ?y+2??=4.(?)

1. 当d2+e2－4f>0时，比较公式( △) 用圆的标准方程： (*) 表示为

? de1 ?-2,-?

2?? 2d2+e2-4f是一个有半径的圆；

2.当d2+e2-4f=0时，(*)只有实解x=-d 2,y=-e 2,

即公式(*)表示一个点? d ?-2, -e?

2?? （有时也称为点圆）

3.当d2+e2－4f

老师总结：当d2+e2－4f>0时，方程x2+y2+dx+ey+f=0称为圆的一般方程。

师：圆的一般方程有什么特点？

生成a：它是关于x 和y 的两个变量的二次方程。

师：生孩子的说法对吗？

盛b：不行。它是关于 x 和 y 的两个变量的特殊二次方程。师：有什么特别之处？

（论证并给出反例后，教师总结）

教师：1、x2和y2的系数相同，不等于0。 2. 没有像 xy 这样的二次项。

（提问）：“方程ax2+by2+dx+ey+f=0代表一个圆”的两个条件是什么？

生命：必要条件。

老师：还缺什么？

健康：d2+e2－4f>0。

练习：判断下列方程是否为圆方程：

①x2+y2－2x+4y－4=0 ②2x2+2y2－12x+4y=0

< p> ③x2+2y2－6x+4y－1=0

④x2+y2－12x+6y+50=0

三．应用实例

老师：首先请比较圆(x-a)2+(y-b)2=r2的标准方程和一般方程x2+y2+dx+ey+f=0在应用中。有什么优势？

健康：标准方程的几何特征很明显——圆的中心和半径都可以看到；一般方程的优点是可以从一般二次方程中求出圆的方程。

师：如何判断用“一般方程”表示的圆的圆心和半径。德？ 1生：圆心？-？，r=d2+e2-4f.-，？22？

2生b：不用背，公式就行了

老师：两种形式的方程各有特点，应根据具体情况进行分析选择。四。例题说明

例1.求三点圆的方程o(0,0),m1(1,1),m2(4,2)；

分析：由于o(0,0)、m1(1,1)、m2(4,2)不在同一条直线上，所以通过三个点o、m1、m2存在唯一圆。

解法：方法一：设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0，

∵o，m1，m2都是圆上的三个点circle,

∴o,m1,m2 三点坐标均满足集合方程。将o(0,0),m1(1,1),m2(4,2)代入集合方程，

?f=0?得到： ?d+e+f+2=0 ?4d+2e+f+20=0? ?d=-8?得到的解： ?e=6 ?f=0 ?

因此，求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0。

方法二：也可以求om1和om2中垂直线的交点，就是圆心，圆心到o的距离就是半径。你也可以找到圆的方程：x2+y2-8x+6y=0。

方法三：也可以设置圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2 将点的坐标代入方程组，也可以求解(x -4)2+(y+3)2=2

5. 总结

六。作业：

1.求下列圆的圆心坐标和半径：

①x2+y2 －2x－5=0

②x2+y2+2x－4y－4=0

③x2+y2+2ax=0

④x2+y2－2by -2b2=0

7.教学反思

【第三部分：优秀教案30-圆的一般方程】

圆的一般方程

课本解析

本节内容为第二卷必修卷第一章第二章第二课内容。圆解析几何的一般方程属于解析几何的基础知识，是二次曲线研究的开端，而后续对直线与圆、圆锥曲线等位置关系的研究，起到了重要的作用。在知识和思维方法方面联系过去的作用。课时分配

本节1课时完成，主要研究圆的一般方程的特点和待定系数的方法，以及。教学目标

重点：圆方程的一般方程和系数不定法的圆方程。

难点：系数不定法的圆方程和对坐标概念的理解方法。知识点：圆的一般方程和一般方程的特征，待定系数法。

能力点：用代数方法研究几何问题的能力，对数和形状组合的理解，待定系数的应用

教育要点：在体验数学之美的过程中，培养学生思考的勇气、积极探索知识、合作交流的意识，激发学生的学习兴趣。扩展点：用坐标法求解运动点的轨迹方程。

教具准备多媒体课件、三角板、圆规

课堂模式、学习案例指导、自主探究

一、复习介绍 p> 【师生活动】教师提问，学生回答。

问题一：如何求圆点为o(0,0),m(1,1)的方程)n(4,2) ，求半径的长度和圆心的坐标？

生：未定系数法设置圆的标准方程或求圆心坐标和半径。圆方程为(x-4)+(y+3)=25，圆心坐标为(4,-3)，半径为5。【设计意图】复习、巩固、强化记忆。

问题2：展开上面得到的方程，我们得到什么样的方程？所有的圆方程都是这样的吗？ 22

x+y-2ax-2by+a+b-r=0, raw：展开为x+y-8x+6y=0。圆的标准方程展开为：

是二元二次方程。

【设计意图】从具体到一般，引导学生找到方法和分析问题的结论。

老师：圆的方程总是可以表示为像x+y+dx+ey+f=0这样的方程，那么方程x+y+dx+ ey+f=0 代表一个圆？我们将在本课中探讨这个问题。

[设计意图]在学生现有知识的基础上构建新知识是对旧知识的应用和扩展。

2 2.探索新知识

【师生活动】教师提问，引导学生分析，师生共同完成讨论。问题一：方程x+y-2x+4y+1=0，x+y -2x-4y+6=0，x+y-2x+4y+5=0代表什么数字？

【设计意图】利用具体问题讨论，降低探究难度，引导学生逐步完成探究，形成分类讨论、等价变换等数学思想。

【师生活动】老师提示匹配方法，公式和展开由学生完成，老师最后展示结果，然后讨论得到的方程。

学生：方程x+ y-2x+4y+1=0可以转化为：(x-1)+(y+2)=4，表示以(1,-2)为圆心，2为半径的圆；

方程x+y-2x-4y+6=0可以转化为：(x-1)+(y-2)=-1，不代表圆；

方程x+y-2x+4y+5=0可以转化为：(x-1)+(y+2)=0，不代表圆。师：满足方程和 ● 的点的坐标是多少？

学生：没有满足方程的点，满足方程●的点坐标为(1,-2)。师：那等式，●代表什么数字？

生：方程不能代表任何图形，方程代表点(1,-2)。

【设计说明】认识方程x+y+dx+ey +f= 0 可能代表一个圆，但不一定，提示学生进一步探索在什么条件下它必须代表一个圆；采用从特殊到一般，从具体到抽象的认知方法。

问题2：方程x+ 在什么条件下y+dx+ey+f=0 表示一个圆？

【设计意图】突破教学难点。??

【设计说明】本题以第1题讨论为基础，学生分组讨论，独立完成，教师给予适当指导.

d2e2d2+e2-4f 生：公式x+y+dx+ey+f=0 得到：(x+)+(y+)= 2242

2除法：是否方程式是圆圈与它有什么关系？

【设计意图】让问题更简单，突破难点，让学生充分理解分类思维在数学中的重要地位，加强学生观察和思考的能力，进而获得完整的圆表达式的一般方程。

健康：与d+e-4f的正值或负值有关。 22 de,)

是一个有半径的圆。 22

dede22②当d+e-4f=0时，方程只有实解x=-,y=-，即只有一点(-,-)。 2222 ⑴当d+e-4f>0时，方程表示为(-22

⑶当d+e-4f﹤0时，方程无实解，不表示任何图形。

除法22：当d+e-4f﹥0时，方程x+y+dx+ey+f=0称为圆的一般方程。2222

3. 理解新知识

思考1：圆的一般方程 与一般二元二次方程ax+bxy+cy+dx+ey+f=0有什么关系?

【设计意图】类比法用于将研究问题从简单到复杂加深。从特殊到一般的理解减少的思想。加深对结构的理解圆的二次方程。

生：二元二次方程ax+bxy+cy+dx+ey+f=0中的a，c相等，b=0是圆的一般方程圆的一般方程的特点是：（1）x和y的系数相等，等于1；（2）没有xy项。设计意图】归纳知识，强调概念的本质，加深学生对圆的一般方程的理解。有助于学生理清知识脉络，让学生理解和记忆圆的一般方程的代数特征。

思考2：圆的一般方程有什么特点圆和圆的标准方程？

【设计意图】通过让学生比较和体验，加强学生的观察和思考能力，提高学生分析和解决问题的能力。 ：圆的标准方程可以反映圆心的坐标和半径的长度。圆的一般方程表明，圆的方程是两个变量的特殊二次方程。师：圆的标准方程的几何特征明显，圆的一般方程的代数特征明显。

[设计意图]可以进一步加深学生对用代数方法研究几何问题

四、运用新知识

例1 判断下列二元线性方程是否代表圆的方程？如果有，求圆的圆心和半径。

(1) x+y-6x=0 (2) x+y- 2ax-2ay+3a=0

(3) x+y+2ax-b=0 (4) 4x+4y-4x+12y+11=0

[设计意图]进一步一步一步，熟悉特性和匹配圆的一般方程的方法，并将其转化为标准方程和标准方程的几何特征。加深对所学知识的理解和应用，使学生掌握基础知识。

【设计说明】本题由学生自己做。

( x-3)+y=9，表示圆心坐标为(3,0)，半径为3。 解：(1)方程可改成：

(x-a)时+(y-3a)==0，方程代表点(0,0)；当a≠0时，等式代表圆心 (2) 等式可改为：

坐标为(a,a)，半径长度为|a|的圆。

当(x+a)+y=a++b=0时，方程表示点(0,0)；当a+b≠0时，方程 表（3）中的方程可以改成：

表示圆心坐标为（-a,0），半径为a+b的圆。 (4)方程可改成：x+y-x+ 3y+

巩固练习：课本p1241

例2求点为o(0,0)的圆方程),m(1,1)n(4,2),求半径的长度和圆心的坐标。

【设计意图】熟悉一般方程一个圆圈。通过本题的练习，学生可以掌握用待定系数法求解圆的一般方程的步骤。 【设计说明】 让学生画图，结合实例的方法，用待定系数法讨论确定求圆的一般方程。图形.4224除法校正。

解：设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0

∵a(0,0),b( 1, 1), c(4,2) 在圆上，所以它们的坐标就是方程的解，代入方程得到：

?f=0? ?d+e+f+2=0 即d =-8 e=6 f=o ?4d+2e+f+20=0?

∴圆的方程为x+ y-8x+6y=0

∴圆心坐标为(4,-3), r=

2222de, -=4, -=-3除法2222：也可以将x+y+dx+ey+f=0转成圆标准方程：(x-4)+(y+3)=25，求圆心坐标

和半径的长度。

老师：求圆的待定系数法 方程一定要设置圆的一般方程吗？用待定系数法求圆方程的大致步骤是什么？

[设计意图]强调方法的本质，加深学生对该方法的理解和应用。

学生：⑴根据条件，选择标准方程或一般方程方程; ⑵根据条件列出关于a、b、r或d、e、f的方程组；

巩固练习：教科书p1233

例3已知线段ab的端点b坐标为(4,3)，端点a在圆上(x+1)+ y= 4 运动，求线段ab的中点m

轨迹方程.22

【设计意图】掌握用代入法求解曲线轨迹方程的步骤方法，培养学生运用知识的能力。能力。

【设计说明】教师引导学生分析条件中的关系，教师在黑板上写字，学生总结解题步骤。

师：求线段ab的中点m的轨迹方程是指点m的坐标(x,y)所满足的关系式。在已知条件下哪些点坐标是已知的？

?

学生：a点坐标满足方程(x+1)+y=4。师：a点和m点是什么关系？

同学们：点m是线段ab的中点。师：m、a、b坐标之间的关系可以用中点坐标公式表示，m点方程可以用a点坐标满足的方程表示。坐标关系。

解：设m点坐标为(x, y)，a点坐标为(x0, y0)，因为b点坐标为(4, 3) )，而m是线段ab的中点，22

所以有：x=x0+4y+4，y=0，即：x0=2x-4，y0=2y-3 ① 22

< p> 2222 因为a点在圆上运动(x+1)+y=4，所以a点的坐标满足方程(x+1)+y=4

即：(x0+1) +y0=4 ②

将①代入②，得：(2x-4+1)+(2y-3)=4 排列，得：( x-)2+(y-)2= 1

所以m点的轨迹是以(,)为圆心，半径为1的圆。22

师：这种求点轨迹的方法叫代入法。相关点坐标所满足的方程求解轨迹方程。求一个点的轨迹的一般步骤是： (1)建立一个合适的坐标系，用序数对(x,y)来表示曲线上任意一点m的坐标； (2) Write 得到符合条件的点m的集合； (3) 列出方程f(x,y)=0； (4) 将方程f(x,y)=0转化为最简单的形式。

【设计意图】归纳归纳，系统化方法，形成能力。

巩固练习：课本p12

43 5、课堂总结

老师：在这堂课中，我学习了圆的一般方程，讨论了哪些问题，运用了哪些思维方法？

学生：学习了圆x+y+dx+ey+f=0的一般方程的代数特征。讨论了圆的一般方程与标准方程的相互变换，用待定系数法求解了圆的一般方程。求解曲线轨迹方程的方程和代入法。

[设计意图]启发和引导学生总结和组织，培养学生宏观掌握知识的能力，帮助学生理清重点和难点本课要点，加深对圆一般方程的理解，有助于学生从感性认识上升到理性认识，将知识转化为能力，形成数学方法和数学思维。 2

26. 布置作业

1, 5, 8 1. 必修作业：教科书p144a

, 3 可选作业：教科书p124b1

[设计意图] 巩固基础知识，设置分级作业，满足每一位学生，增强学生学习数学的愿望和信心。 2.课后实践自学系列

27.课后反思 本课通过学生的主体参与，让学生深入了解本课的主要内容和思维方法，从而进一步加深对圆一般方程的理解，总结用待定系数法求解问题的基本步骤，细化分类讨论、约简变换、数形结合等数学思想。但是，点的轨迹方程的解目前还不能解释透彻，让学生稍加了解，在直线方程和圆方程的教学中应加强学生对坐标法的理解。 p>

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